Ordenes de Magnitud

Hoy, después de almuerzo, conversábamos de que a veces, cuando no conoces la respuesta exacta a un problema matemático, algo tan importante como conocer la respuesta es conocer que tan grande puede ser el número que buscamos. Aquí les reproduzco 3 problemas sobre Ordenes de Magnitud, donde lo importante es que no hay la respuesta exacta. Si tienen parientes en edad escolar se los pueden hacer como preguntas de ingenio...

En micro a la Luna

La luna está a unos 300 mil kilómetros de distancia de la tierra. Si viajásemos al encuentro de la Luna en un microbús (micro para los amigos), ¿Cuánto tiempo nos demoraríamos en llegar? ¿Días, semanas, meses o años...?

Solución: Vamos a asumir una velocidad de 30 km/hora en el microbús (es bastante menor de los 50 km/hora a los que puede llegar a viajar en realidad, pero vamos usar ese número porque es más fácil para la división hecha mentalmente). 300.000 kilometros dividido por 30 km/hora nos da 10 mil horas. ¿Cuánto tiempo son 10 mil horas?

Un día tiene 24 horas, pero dividir mentalmente 10 mil entre 24 es complicado, así que vamos a aproximarlo con días de 25 horas. 25 es 100 dividido entre 4, así que mentalmente hacemos 10 mil dividido por 100, eso es 100. Pero ahora multiplicamos por 4 para terminar la división por 100/4. Así nos quedan 400 días. Un año tiene 365 días, así que nos demoramos algo más de 1 año en viajar a la Luna en micro. Una estimación más razonable es que en dirección a la Luna no hay tráfico, así que a velocidad crucero, podríamos llegar a la Luna en la mitad del tiempo, en tan solo 6 meses aprox. ¿Quién lo hubiera pensado?.

Los colores de la pantalla

En la actualidad, casi todas las pantallas de computador muestran las imágenes en modo "color verdadero", lo que quiere decir que las imágenes se muestran en profundidad de color de 24 bits (aunque digan que son de 32 bits, solo 24 se usan como información de color). Eso quiere decir que hay 256 intensidades de color rojo, 256 de color verde y 256 de color azul. ¿Cuantos colores se llegar a pueden mostrar con estos componentes de color? ¿Miles, cientos de miles, millones, cientos de millones...?

Solución: La solución exacta son las combinaciones de 256 intensidades de rojo multiplicado por las 256 de verde multiplicado por las 256 de azul, o sea, 256 x 256 x 256. Pero ahora vamos a usar otro camino. El número 256 x 256 x 256 es lo mismo que los 24 bits de profundidad de color, o sea 2 elevado a 24 combinaciones. Ahora, solo necesitamos una buena aproximación para 2 elevado a 24.

Una aproximación que nos saca de apuros es esta: 2 elevado a 10 ( 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 ) es 1024. Una buena aproximación de 2 elevado a 10 es el número mil. Así, usando las reglas de potencias tenemos que 2 elevado a 24 es igual a 2 x 2 x 2 x 2 x (2 elevado a 20) o sea 16 x (2 elevado a 10) x (2 elevado a 10) o lo mismo 16 x mil x mil, que son 16 millones. Estos son los 16 millones de colores que pueden haber encontrado en algun folleto que acompaña a su monitor del computador.

Los granos de arroz en el tablero de ajedrez

Hay una historia que parece que se supone que aparece en "El hombre que calculaba" pero no lo he podido confirmar (leí el libro hace mucho tiempo!). Se supone que un rey había quedado desconsolado por la pérdida de un hijo en batalla. Un sabio le regala el recién inventado juego del ajedrez, que logra distraerlo de su aflicción, por lo que decide recompensar al sabio con lo que le pida. El sabio le ofrece el siguiente trato: colocar un grano de arroz en la primera casilla del tablero, luego dos granos en la siguiente casilla y así sucesivamente el doble en cada siguiente casilla. El rey lo observa incrédulo y le dice que le parece que es un premio minúsculo y absurdo para semejante entretención. ¿Cuánto arroz es lo que le pide el sabio al rey? ¿Cientos de kilos, toneladas, cientos de toneladas...?

Solución: Aquí uso el mismo truco de aproximar 2 elevado a 10 como "mil". El tablero de ajedrez tiene 8 x 8 casillas (64 casillas en total). Comenzando con 1 grano de arroz, luego 2, luego 4 ... llegamos a la casilla 64 donde se deben colocar 2 elevado a 63 granos. En total 1 + 2 + 4 + ... + 2 elevado a 63 son casi lo mismo que 2 elevado a 64.

De aquí aproximamos 2 elevado a 64 como (2 x 2 x 2 x 2) x (2 elevado a 60). Como 2 elevado a 10 es aproximadamente 1.000, entonces 2 elevado a 60 es aproximadamente 1.000.000.000.000.000.000 (un trillón!). En total, el tablero debería tener unos 16 trillones de granos de arroz(!!!). Si estimamos que necesitamos unos 16 granos de arroz por gramo, tenemos unos 1.000.000.000.000.000 kilogramos de arroz. Un millón de millones de toneladas de arroz. Según la wikipedia, la producción mundial de arroz es del orden de 600 millones de toneladas, o sea, bastante menos que el hipotético premio al sabio de la historia. La misma historia dice que el sabio le hizo entender al rey del error en que se encontraba, y luego el sabio fue hecho sabio del palacio para consulta permanente del rey.